环(Ring)

环是一个集合RR,配备两种二元运算(加法+和乘法×),满足:

• 加法构成阿贝尔群(交换律、结合律、存在零元、逆元)
• 乘法满足结合律,且对加法有分配律
  例子:整数集ZZ,实数集RR,矩阵环Mn(R)

环的定义比群(Group)更复杂,因为它涉及两种运算,但比域(Field)更一般,因为环不要求每个非零元素都有乘法逆元

多项式(Polynomial)

多项式是数学中一个常见的概念,形如:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

其中, $x$ 是变量, $a_i$ 是系数, $n$ 是多项式的次数
多项式可以进行加法,减法和乘法运算,这些运算满足环的性质

多项式环(Polynomial Ring)

多项式环是将多项式作为元素构成的环,具体来说,给定一个环R,多项式环R[x]是所有以R中的元素为系数的多项式构成的集合,并且这些多项式可以进行加法和乘法运算

多项式环的定义

• 系数环:假设有一个环R,例如整数环Z,有限域GF(p)等
• 变量:选择一个变量x(可以是任意符号)
• 多项式环:所有以R中的元素为系数的多项式构成的集合R[x]

多项式环的性质

• 加法:两个多项式相加,系数逐项相加
• $(a_n x^n + \cdots + a_0) + (b_n x^n + \cdots + b_0) = (a_n + b_n) x^n + \cdots + (a_0 + b_0)$
• 乘法:两个多项式相乘,按照分配律展开
• $(a_n x^n + \cdots + a_0) \times (b_m x^m + \cdots + b_0) = c_{n+m} x^{n+m} + \cdots + c_0$
• 其中, $c_k = \sum_{\substack{i + j = k}} a_i b_j$
• 零元:零多项式0是加法单位元
• 单位元:常数多项式1是乘法单位元(如果R有乘法单位元)

多项式环的例子

示例1: 整数多项式环Z[x]

• 系数来自整数环Z
• 例如: $P(x)=3x^2+2x+1$ 和 $Q(x)=−x^2+4$
• 加法: $P(x)+Q(x)=(3−1)x^2+2x+(1+4)=2x^2+2x+5$
• 乘法: $P(x)×Q(x)=(3x^2+2x+1)(−x^2+4)=−3x^4+12x^2−2x^3+8x−x^2+4$

示例2: 有限域上的多项式环GF(p)[x]

• 系数来自有限域GF(p),例如p=5
• 例如: $P(x)=2x^2+3x+1$ 和 $Q(x)=4x^2+x+2$
• 加法: $P(x) + Q(x) = (2+4)x^2 + (3+1)x + (1+2) = 6x^2 + 4x + 3$ (然后对每个系数对5取余(模5))
  • $6 \mod 5 = 1, \ 4 \mod 5 = 4, \ 3 \mod 5 = 3$
• 得到: $P(x) + Q(x) = x^2 + 4x + 3$
• 乘法: $P(x) \times Q(x) = (2x^2 + 3x + 1)(4x^2 + x + 2) = 8x^4 + 14x^3 + 11x^2 + 7x + 2$ (然后对每个系数模5)
  • $8 \mod 5 = 3, \ 14 \mod 5 = 4, \ 11 \mod 5 = 1, \ 7 \mod 5 = 2, \ 2 \mod 5 = 2$
• 得到: $P(x) \times Q(x) = 3x^4 + 4x^3 + x^2 + 2x + 2$

题目

• ! watevrCTF 2019-Swedish

flag = bytearray(raw_input())
flag = list(flag)
length = len(flag)
bits = 16

## Prime for Finite Field.
p = random_prime(2^bits-1, False, 2^(bits-1))

file_out = open("downloads/polynomial_rsa.txt", "w")
file_out.write("Prime: " + str(p) + "\n")

## Univariate Polynomial Ring in y over Finite Field of size p
## y在大小为p的有限域上的单变量多项式环
R.<y> = PolynomialRing(GF(p))

## Analogous to the primes in Z
## 类似于Z中的素数
def gen_irreducable_poly(deg): #检测多项式是否不可约
    while True:
        out = R.random_element(degree=deg)
        if out.is_irreducible():
            return out

## Polynomial "primes"
P = gen_irreducable_poly(ZZ.random_element(length, 2*length))
Q = gen_irreducable_poly(ZZ.random_element(length, 2*length))

## Public exponent key
e = 65537

## Modulus
N = P*Q
file_out.write("Modulus: " + str(N) + "\n")

## Univariate Quotient Polynomial Ring in x over Finite Field of size 659 with modulus N(x)
## 尺寸为659的有限域上模数为N（x）的x上的单变量商多项式环
S.<x> = R.quotient(N)

## Encrypt
m = S(flag)
c = m^e

file_out.write("Ciphertext: " + str(c))
file_out.close()
'''
Prime: 43753
Modulus: 34036*y^177 + 23068*y^176 + 13147*y^175 + 36344*y^174 + 10045*y^173 + 41049*y^172 + 17786*y^171 + 16601*y^170 + 7929*y^169 + 37570*y^168 + 990*y^167 + 9622*y^166 + 39273*y^165 + 35284*y^164 + 15632*y^163 + 18850*y^162 + 8800*y^161 + 33148*y^160 + 12147*y^159 + 40487*y^158 + 6407*y^157 + 34111*y^156 + 8446*y^155 + 21908*y^154 + 16812*y^153 + 40624*y^152 + 43506*y^151 + 39116*y^150 + 33011*y^149 + 23914*y^148 + 2210*y^147 + 23196*y^146 + 43359*y^145 + 34455*y^144 + 17684*y^143 + 25262*y^142 + 982*y^141 + 24015*y^140 + 27968*y^139 + 37463*y^138 + 10667*y^137 + 39519*y^136 + 31176*y^135 + 27520*y^134 + 32118*y^133 + 8333*y^132 + 38945*y^131 + 34713*y^130 + 1107*y^129 + 43604*y^128 + 4433*y^127 + 18110*y^126 + 17658*y^125 + 32354*y^124 + 3219*y^123 + 40238*y^122 + 10439*y^121 + 3669*y^120 + 8713*y^119 + 21027*y^118 + 29480*y^117 + 5477*y^116 + 24332*y^115 + 43480*y^114 + 33406*y^113 + 43121*y^112 + 1114*y^111 + 17198*y^110 + 22829*y^109 + 24424*y^108 + 16523*y^107 + 20424*y^106 + 36206*y^105 + 41849*y^104 + 3584*y^103 + 26500*y^102 + 31897*y^101 + 34640*y^100 + 27449*y^99 + 30962*y^98 + 41434*y^97 + 22125*y^96 + 24314*y^95 + 3944*y^94 + 18400*y^93 + 38476*y^92 + 28904*y^91 + 27936*y^90 + 41867*y^89 + 25573*y^88 + 25659*y^87 + 33443*y^86 + 18435*y^85 + 5934*y^84 + 38030*y^83 + 17563*y^82 + 24086*y^81 + 36782*y^80 + 20922*y^79 + 38933*y^78 + 23448*y^77 + 10599*y^76 + 7156*y^75 + 29044*y^74 + 23605*y^73 + 7657*y^72 + 28200*y^71 + 2431*y^70 + 3860*y^69 + 23259*y^68 + 14590*y^67 + 33631*y^66 + 15673*y^65 + 36049*y^64 + 29728*y^63 + 22413*y^62 + 18602*y^61 + 18557*y^60 + 23505*y^59 + 17642*y^58 + 12595*y^57 + 17255*y^56 + 15316*y^55 + 8948*y^54 + 38*y^53 + 40329*y^52 + 9823*y^51 + 5798*y^50 + 6379*y^49 + 8662*y^48 + 34640*y^47 + 38321*y^46 + 18760*y^45 + 13135*y^44 + 15926*y^43 + 34952*y^42 + 28940*y^41 + 13558*y^40 + 42579*y^39 + 38015*y^38 + 33788*y^37 + 12381*y^36 + 195*y^35 + 13709*y^34 + 31500*y^33 + 32994*y^32 + 30486*y^31 + 40414*y^30 + 2578*y^29 + 30525*y^28 + 43067*y^27 + 6195*y^26 + 36288*y^25 + 23236*y^24 + 21493*y^23 + 15808*y^22 + 34500*y^21 + 6390*y^20 + 42994*y^19 + 42151*y^18 + 19248*y^17 + 19291*y^16 + 8124*y^15 + 40161*y^14 + 24726*y^13 + 31874*y^12 + 30272*y^11 + 30761*y^10 + 2296*y^9 + 11017*y^8 + 16559*y^7 + 28949*y^6 + 40499*y^5 + 22377*y^4 + 33628*y^3 + 30598*y^2 + 4386*y + 23814
Ciphertext: 5209*x^176 + 10881*x^175 + 31096*x^174 + 23354*x^173 + 28337*x^172 + 15982*x^171 + 13515*x^170 + 21641*x^169 + 10254*x^168 + 34588*x^167 + 27434*x^166 + 29552*x^165 + 7105*x^164 + 22604*x^163 + 41253*x^162 + 42675*x^161 + 21153*x^160 + 32838*x^159 + 34391*x^158 + 832*x^157 + 720*x^156 + 22883*x^155 + 19236*x^154 + 33772*x^153 + 5020*x^152 + 17943*x^151 + 26967*x^150 + 30847*x^149 + 10306*x^148 + 33966*x^147 + 43255*x^146 + 20342*x^145 + 4474*x^144 + 3490*x^143 + 38033*x^142 + 11224*x^141 + 30565*x^140 + 31967*x^139 + 32382*x^138 + 9759*x^137 + 1030*x^136 + 32122*x^135 + 42614*x^134 + 14280*x^133 + 16533*x^132 + 32676*x^131 + 43070*x^130 + 36009*x^129 + 28497*x^128 + 2940*x^127 + 9747*x^126 + 22758*x^125 + 16615*x^124 + 14086*x^123 + 13038*x^122 + 39603*x^121 + 36260*x^120 + 32502*x^119 + 17619*x^118 + 17700*x^117 + 15083*x^116 + 11311*x^115 + 36496*x^114 + 1300*x^113 + 13601*x^112 + 43425*x^111 + 10376*x^110 + 11551*x^109 + 13684*x^108 + 14955*x^107 + 6661*x^106 + 12674*x^105 + 21534*x^104 + 32132*x^103 + 34135*x^102 + 43684*x^101 + 837*x^100 + 29311*x^99 + 4849*x^98 + 26632*x^97 + 26662*x^96 + 10159*x^95 + 32657*x^94 + 12149*x^93 + 17858*x^92 + 35805*x^91 + 19391*x^90 + 30884*x^89 + 42039*x^88 + 17292*x^87 + 4694*x^86 + 1497*x^85 + 1744*x^84 + 31071*x^83 + 26246*x^82 + 24402*x^81 + 22068*x^80 + 39263*x^79 + 23703*x^78 + 21484*x^77 + 12241*x^76 + 28821*x^75 + 32886*x^74 + 43075*x^73 + 35741*x^72 + 19936*x^71 + 37219*x^70 + 33411*x^69 + 8301*x^68 + 12949*x^67 + 28611*x^66 + 42654*x^65 + 6910*x^64 + 18523*x^63 + 31144*x^62 + 21398*x^61 + 36298*x^60 + 27158*x^59 + 918*x^58 + 38601*x^57 + 4269*x^56 + 5699*x^55 + 36444*x^54 + 34791*x^53 + 37978*x^52 + 32481*x^51 + 8039*x^50 + 11012*x^49 + 11454*x^48 + 30450*x^47 + 1381*x^46 + 32403*x^45 + 8202*x^44 + 8404*x^43 + 37648*x^42 + 43696*x^41 + 34237*x^40 + 36490*x^39 + 41423*x^38 + 35792*x^37 + 36950*x^36 + 31086*x^35 + 38970*x^34 + 12439*x^33 + 7963*x^32 + 16150*x^31 + 11382*x^30 + 3038*x^29 + 20157*x^28 + 23531*x^27 + 32866*x^26 + 5428*x^25 + 21132*x^24 + 13443*x^23 + 28909*x^22 + 42716*x^21 + 6567*x^20 + 24744*x^19 + 8727*x^18 + 14895*x^17 + 28172*x^16 + 30903*x^15 + 26608*x^14 + 27314*x^13 + 42224*x^12 + 42551*x^11 + 37726*x^10 + 11203*x^9 + 36816*x^8 + 5537*x^7 + 20301*x^6 + 17591*x^5 + 41279*x^4 + 7999*x^3 + 33753*x^2 + 34551*x + 9659
'''

解题思路

• 题目定义了一个函数gen_irreducable_poly,用于生成不可约多项式
• 随机生成两个不可约多项式P和Q,其度数在[length, 2*length)之间
• degree()就是多项式的最高项指数
• 这题的考点在于”多项式上的RSA加密“,难点在于欧拉函数phi的获取,原始的RSA的phi=(p-1)*(q-1)
• 欧拉函数的定义:
  • 对于正整数n,欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的个数
• 这里的多项式的欧拉函数:
  • 对于多项式P(y)来讲,欧拉函数phi(P(y))表示所有不高于P(y)幂级的环内所有多项式中,与P(y)无(除1以外)公因式的其他多项式的个数
• 解出欧拉函数后,就是常规RSA解法了(注意明文是多项式上的系数)

解答

P=43753
R.<y> = PolynomialRing(GF(P))
N=34036*y^177 + 23068*y^176 + 13147*y^175 + 36344*y^174 + 10045*y^173 + 41049*y^172 + 17786*y^171 + 16601*y^170 + 7929*y^169 + 37570*y^168 + 990*y^167 + 9622*y^166 + 39273*y^165 + 35284*y^164 + 15632*y^163 + 18850*y^162 + 8800*y^161 + 33148*y^160 + 12147*y^159 + 40487*y^158 + 6407*y^157 + 34111*y^156 + 8446*y^155 + 21908*y^154 + 16812*y^153 + 40624*y^152 + 43506*y^151 + 39116*y^150 + 33011*y^149 + 23914*y^148 + 2210*y^147 + 23196*y^146 + 43359*y^145 + 34455*y^144 + 17684*y^143 + 25262*y^142 + 982*y^141 + 24015*y^140 + 27968*y^139 + 37463*y^138 + 10667*y^137 + 39519*y^136 + 31176*y^135 + 27520*y^134 + 32118*y^133 + 8333*y^132 + 38945*y^131 + 34713*y^130 + 1107*y^129 + 43604*y^128 + 4433*y^127 + 18110*y^126 + 17658*y^125 + 32354*y^124 + 3219*y^123 + 40238*y^122 + 10439*y^121 + 3669*y^120 + 8713*y^119 + 21027*y^118 + 29480*y^117 + 5477*y^116 + 24332*y^115 + 43480*y^114 + 33406*y^113 + 43121*y^112 + 1114*y^111 + 17198*y^110 + 22829*y^109 + 24424*y^108 + 16523*y^107 + 20424*y^106 + 36206*y^105 + 41849*y^104 + 3584*y^103 + 26500*y^102 + 31897*y^101 + 34640*y^100 + 27449*y^99 + 30962*y^98 + 41434*y^97 + 22125*y^96 + 24314*y^95 + 3944*y^94 + 18400*y^93 + 38476*y^92 + 28904*y^91 + 27936*y^90 + 41867*y^89 + 25573*y^88 + 25659*y^87 + 33443*y^86 + 18435*y^85 + 5934*y^84 + 38030*y^83 + 17563*y^82 + 24086*y^81 + 36782*y^80 + 20922*y^79 + 38933*y^78 + 23448*y^77 + 10599*y^76 + 7156*y^75 + 29044*y^74 + 23605*y^73 + 7657*y^72 + 28200*y^71 + 2431*y^70 + 3860*y^69 + 23259*y^68 + 14590*y^67 + 33631*y^66 + 15673*y^65 + 36049*y^64 + 29728*y^63 + 22413*y^62 + 18602*y^61 + 18557*y^60 + 23505*y^59 + 17642*y^58 + 12595*y^57 + 17255*y^56 + 15316*y^55 + 8948*y^54 + 38*y^53 + 40329*y^52 + 9823*y^51 + 5798*y^50 + 6379*y^49 + 8662*y^48 + 34640*y^47 + 38321*y^46 + 18760*y^45 + 13135*y^44 + 15926*y^43 + 34952*y^42 + 28940*y^41 + 13558*y^40 + 42579*y^39 + 38015*y^38 + 33788*y^37 + 12381*y^36 + 195*y^35 + 13709*y^34 + 31500*y^33 + 32994*y^32 + 30486*y^31 + 40414*y^30 + 2578*y^29 + 30525*y^28 + 43067*y^27 + 6195*y^26 + 36288*y^25 + 23236*y^24 + 21493*y^23 + 15808*y^22 + 34500*y^21 + 6390*y^20 + 42994*y^19 + 42151*y^18 + 19248*y^17 + 19291*y^16 + 8124*y^15 + 40161*y^14 + 24726*y^13 + 31874*y^12 + 30272*y^11 + 30761*y^10 + 2296*y^9 + 11017*y^8 + 16559*y^7 + 28949*y^6 + 40499*y^5 + 22377*y^4 + 33628*y^3 + 30598*y^2 + 4386*y + 23814
S.<x> = R.quotient(N)
C=5209*x^176 + 10881*x^175 + 31096*x^174 + 23354*x^173 + 28337*x^172 + 15982*x^171 + 13515*x^170 + 21641*x^169 + 10254*x^168 + 34588*x^167 + 27434*x^166 + 29552*x^165 + 7105*x^164 + 22604*x^163 + 41253*x^162 + 42675*x^161 + 21153*x^160 + 32838*x^159 + 34391*x^158 + 832*x^157 + 720*x^156 + 22883*x^155 + 19236*x^154 + 33772*x^153 + 5020*x^152 + 17943*x^151 + 26967*x^150 + 30847*x^149 + 10306*x^148 + 33966*x^147 + 43255*x^146 + 20342*x^145 + 4474*x^144 + 3490*x^143 + 38033*x^142 + 11224*x^141 + 30565*x^140 + 31967*x^139 + 32382*x^138 + 9759*x^137 + 1030*x^136 + 32122*x^135 + 42614*x^134 + 14280*x^133 + 16533*x^132 + 32676*x^131 + 43070*x^130 + 36009*x^129 + 28497*x^128 + 2940*x^127 + 9747*x^126 + 22758*x^125 + 16615*x^124 + 14086*x^123 + 13038*x^122 + 39603*x^121 + 36260*x^120 + 32502*x^119 + 17619*x^118 + 17700*x^117 + 15083*x^116 + 11311*x^115 + 36496*x^114 + 1300*x^113 + 13601*x^112 + 43425*x^111 + 10376*x^110 + 11551*x^109 + 13684*x^108 + 14955*x^107 + 6661*x^106 + 12674*x^105 + 21534*x^104 + 32132*x^103 + 34135*x^102 + 43684*x^101 + 837*x^100 + 29311*x^99 + 4849*x^98 + 26632*x^97 + 26662*x^96 + 10159*x^95 + 32657*x^94 + 12149*x^93 + 17858*x^92 + 35805*x^91 + 19391*x^90 + 30884*x^89 + 42039*x^88 + 17292*x^87 + 4694*x^86 + 1497*x^85 + 1744*x^84 + 31071*x^83 + 26246*x^82 + 24402*x^81 + 22068*x^80 + 39263*x^79 + 23703*x^78 + 21484*x^77 + 12241*x^76 + 28821*x^75 + 32886*x^74 + 43075*x^73 + 35741*x^72 + 19936*x^71 + 37219*x^70 + 33411*x^69 + 8301*x^68 + 12949*x^67 + 28611*x^66 + 42654*x^65 + 6910*x^64 + 18523*x^63 + 31144*x^62 + 21398*x^61 + 36298*x^60 + 27158*x^59 + 918*x^58 + 38601*x^57 + 4269*x^56 + 5699*x^55 + 36444*x^54 + 34791*x^53 + 37978*x^52 + 32481*x^51 + 8039*x^50 + 11012*x^49 + 11454*x^48 + 30450*x^47 + 1381*x^46 + 32403*x^45 + 8202*x^44 + 8404*x^43 + 37648*x^42 + 43696*x^41 + 34237*x^40 + 36490*x^39 + 41423*x^38 + 35792*x^37 + 36950*x^36 + 31086*x^35 + 38970*x^34 + 12439*x^33 + 7963*x^32 + 16150*x^31 + 11382*x^30 + 3038*x^29 + 20157*x^28 + 23531*x^27 + 32866*x^26 + 5428*x^25 + 21132*x^24 + 13443*x^23 + 28909*x^22 + 42716*x^21 + 6567*x^20 + 24744*x^19 + 8727*x^18 + 14895*x^17 + 28172*x^16 + 30903*x^15 + 26608*x^14 + 27314*x^13 + 42224*x^12 + 42551*x^11 + 37726*x^10 + 11203*x^9 + 36816*x^8 + 5537*x^7 + 20301*x^6 + 17591*x^5 + 41279*x^4 + 7999*x^3 + 33753*x^2 + 34551*x + 9659
# factor(N)
p,q = N.factor()
p,q = p[0],q[0]
print(p)
print(q)
#y^65 + 39688*y^64 + 22199*y^63 + 41942*y^62 + 7803*y^61 + 19710*y^60 + 14794*y^59 + 41388*y^58 + 2418*y^57 + 19208*y^56 + 39941*y^55 + 36392*y^54 + 19813*y^53 + 33864*y^52 + 29099*y^51 + 15484*y^50 + 27185*y^49 + 27721*y^48 + 31508*y^47 + 19404*y^46 + 10134*y^45 + 43481*y^44 + 3899*y^43 + 32849*y^42 + 3534*y^41 + 32086*y^40 + 14221*y^39 + 42982*y^38 + 1403*y^37 + 1619*y^36 + 36054*y^35 + 33615*y^34 + 6628*y^33 + 31709*y^32 + 6968*y^31 + 28517*y^30 + 12938*y^29 + 21124*y^28 + 10400*y^27 + 28889*y^26 + 7273*y^25 + 36442*y^24 + 14935*y^23 + 29365*y^22 + 4869*y^21 + 43562*y^20 + 6435*y^19 + 4403*y^18 + 32311*y^17 + 7575*y^16 + 28199*y^15 + 28065*y^14 + 23870*y^13 + 37314*y^12 + 15299*y^11 + 7082*y^10 + 36230*y^9 + 18367*y^8 + 12531*y^7 + 25906*y^6 + 26878*y^5 + 43073*y^4 + 11582*y^3 + 4482*y^2 + 35044*y + 31388
#y^112 + 31097*y^111 + 15815*y^110 + 17170*y^109 + 43684*y^108 + 16873*y^107 + 17269*y^106 + 10853*y^105 + 10690*y^104 + 24864*y^103 + 10224*y^102 + 28704*y^101 + 16049*y^100 + 1154*y^99 + 40034*y^98 + 29922*y^97 + 27404*y^96 + 32514*y^95 + 40962*y^94 + 32858*y^93 + 36590*y^92 + 41302*y^91 + 20803*y^90 + 43521*y^89 + 13746*y^88 + 19857*y^87 + 21539*y^86 + 36888*y^85 + 16032*y^84 + 35825*y^83 + 24705*y^82 + 31143*y^81 + 22088*y^80 + 6686*y^79 + 37947*y^78 + 5661*y^77 + 29405*y^76 + 36071*y^75 + 35492*y^74 + 28985*y^73 + 36015*y^72 + 24095*y^71 + 34920*y^70 + 6615*y^69 + 9606*y^68 + 4255*y^67 + 22981*y^66 + 3910*y^65 + 23897*y^64 + 22711*y^63 + 23350*y^62 + 7969*y^61 + 8558*y^60 + 8001*y^59 + 8431*y^58 + 3314*y^57 + 23364*y^56 + 39391*y^55 + 32722*y^54 + 2543*y^53 + 22196*y^52 + 24189*y^51 + 19420*y^50 + 10649*y^49 + 19070*y^48 + 23863*y^47 + 19597*y^46 + 39699*y^45 + 7620*y^44 + 25067*y^43 + 29912*y^42 + 14998*y^41 + 14492*y^40 + 31322*y^39 + 43145*y^38 + 32006*y^37 + 38976*y^36 + 32534*y^35 + 6972*y^34 + 37351*y^33 + 30104*y^32 + 6032*y^31 + 33729*y^30 + 27110*y^29 + 5268*y^28 + 2974*y^27 + 2985*y^26 + 31610*y^25 + 28364*y^24 + 34924*y^23 + 17414*y^22 + 28813*y^21 + 43680*y^20 + 32175*y^19 + 18248*y^18 + 25171*y^17 + 31185*y^16 + 30125*y^15 + 36836*y^14 + 7218*y^13 + 11292*y^12 + 31123*y^11 + 40360*y^10 + 34093*y^9 + 39606*y^8 + 2788*y^7 + 27277*y^6 + 21835*y^5 + 1331*y^4 + 32614*y^3 + 25020*y^2 + 20981*y + 12108
phi=(pow(P,65)-1)*(pow(P,112)-1)
#可表达为phi=(pow(P,p.degree())-1)*(pow(P,q.degree())-1)
e = 65537
d = inverse_mod(e,phi)
m = C^d
# print(m)
print("".join([chr(c) for c in m.list()])) # 将多项式m(x)的系数转换为字节序列
#watevr{RSA_from_ikea_is_fun_but_insecure#k20944uehdjfnjd335uro}